Comment factoriser un polynôme du second degré ?
En bref
La factorisation d'un polynôme du second degré peut se faire selon plusieurs méthodes :
- Utilisation du discriminant et des racines
- Identités remarquables
- Mise en évidence simple ou double
- Méthode somme-produit
Applications principales :
- Résolution d'équations
- Étude de signe
- Simplification de fractions
- Analyse de la structure polynomiale
Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?
Un polynôme du second degré est une expression de la forme :
où :
- a est le coefficient du terme de degré 2 (a ≠ 0)
- b est le coefficient du terme de degré 1
- c est le terme constant
Par exemple :
- a = 2
- b = -3
- c = 1
Pourquoi factoriser ?
La factorisation est un outil fondamental qui permet de :
- Résoudre des équations : si P(x) = 0, les solutions sont les racines des facteurs
- Étudier le signe d'une expression : le signe change à chaque racine
- Simplifier des expressions : notamment les fractions rationnelles
- Comprendre la structure du polynôme : lien avec sa représentation graphique
Méthode du discriminant
Cette méthode est systématique et fonctionne toujours :
- Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac
-
Si Δ > 0, les racines sont :
x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a)La forme factorisée est : a(x - x₁)(x - x₂)
-
Si Δ = 0, l'unique racine est :
x₀ = -b/(2a)La forme factorisée est : a(x - x₀)²
- Si Δ < 0, le polynôme n'est pas factorisable dans ℝ
Exemple détaillé : x² - 5x + 6
Δ = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1
x₁ = 2 et x₂ = 3
Donc : x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Identités remarquables
Les trois identités fondamentales sont :
-
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemple : x² + 6x + 9 = (x + 3)²
-
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Exemple : x² - 4x + 4 = (x - 2)²
-
(a + b)(a - b) = a² - b²
Exemple : x² - 16 = (x + 4)(x - 4)
Pour reconnaître une identité remarquable :
- Observer les coefficients et signes
- Vérifier les liens entre les termes
- Comparer avec les formes développées des identités
Mise en évidence
La mise en évidence peut être :
-
Simple : sortir un facteur commun à tous les termes
Exemple : 3x² - 6x = 3x(x - 2)
-
Double : grouper les termes puis faire deux mises en évidence
Exemple : x³ + x² - x - 1 = x²(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x² - 1)
Méthode somme-produit
Pour un polynôme ax² + bx + c :
- Chercher deux nombres p et q tels que :
- p + q = b/a
- p×q = c/a
- La factorisation est alors : a(x + p)(x + q)
Exemple : x² - 7x + 12
On cherche p et q tels que p + q = -7 et p×q = 12
p = -3 et q = -4 conviennent
Donc : x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Exercices et cas pratiques
Exercice 1 : Factoriser x² + 4x + 4
Solution :
- On reconnaît a = 1, b = 4, c = 4
- Forme (a + b)² car 4 = 2×2
- Donc : x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Exercice 2 : Factoriser 2x² - 3x - 5
Solution :
- Δ = 9 + 40 = 49
- x₁ = (3 + 7)/4 = 5/2
- x₂ = (3 - 7)/4 = -1
- Donc : 2x² - 3x - 5 = 2(x - (-1))(x - 5/2)
Exercice 3 : Factoriser 3x² - 27
Solution :
- C'est une différence de carrés : 3(x² - 9)
- Donc : 3x² - 27 = 3(x + 3)(x - 3)